\(\int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx\) [218]

Optimal result

Integrand size = 46, antiderivative size = 34 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\frac {a^3 B c^3 \cos ^7(e+f x) (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f} \]

[Out]

a^3*B*c^3*cos(f*x+e)^7*(c-c*sin(f*x+e))^(-3+n)/f

Rubi [A] (verified)

Time = 0.18 (sec) , antiderivative size = 34, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.043, Rules used = {3046, 2933} \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\frac {a^3 B c^3 \cos ^7(e+f x) (c-c \sin (e+f x))^{n-3}}{f} \]

[In]

Int[(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(B*(3 - n) - B*(4 + n)*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

(a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n))/f

Rule 2933

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*g*(m + p + 1))), x
] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[a*d*m + b*c*(m + p + 1), 0]

Rule 3046

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[a^m*c^m, Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m)*(A + B
*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && I
ntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0, n, m] || LtQ[m, n, 0]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left (a^3 c^3\right ) \int \cos ^6(e+f x) (c-c \sin (e+f x))^{-3+n} (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx \\ & = \frac {a^3 B c^3 \cos ^7(e+f x) (c-c \sin (e+f x))^{-3+n}}{f} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 1.21 (sec) , antiderivative size = 63, normalized size of antiderivative = 1.85 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\frac {a^3 B (c-c \sin (e+f x))^n (14 \cos (e+f x)-6 \cos (3 (e+f x))+14 \sin (2 (e+f x))-\sin (4 (e+f x)))}{8 f} \]

[In]

Integrate[(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(B*(3 - n) - B*(4 + n)*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

(a^3*B*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(14*Cos[e + f*x] - 6*Cos[3*(e + f*x)] + 14*Sin[2*(e + f*x)] - Sin[4*(e + f*x)]))
/(8*f)

Maple [A] (verified)

Time = 11.50 (sec) , antiderivative size = 63, normalized size of antiderivative = 1.85

method	result	size
parallelrisch	\(-\frac {a^{3} B \left (-c \left (\sin \left (f x +e \right )-1\right )\right )^{n} \left (6 \cos \left (3 f x +3 e \right )+\sin \left (4 f x +4 e \right )-14 \sin \left (2 f x +2 e \right )-14 \cos \left (f x +e \right )\right )}{8 f}\)	\(63\)

[In]

int((a+a*sin(f*x+e))^3*(c-c*sin(f*x+e))^n*(B*(3-n)-B*(4+n)*sin(f*x+e)),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-1/8*a^3*B*(-c*(sin(f*x+e)-1))^n*(6*cos(3*f*x+3*e)+sin(4*f*x+4*e)-14*sin(2*f*x+2*e)-14*cos(f*x+e))/f

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 78 vs. \(2 (34) = 68\).

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 78, normalized size of antiderivative = 2.29 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=-\frac {{\left (3 \, B a^{3} \cos \left (f x + e\right )^{3} - 4 \, B a^{3} \cos \left (f x + e\right ) + {\left (B a^{3} \cos \left (f x + e\right )^{3} - 4 \, B a^{3} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{n}}{f} \]

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^3*(c-c*sin(f*x+e))^n*(B*(3-n)-B*(4+n)*sin(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

-(3*B*a^3*cos(f*x + e)^3 - 4*B*a^3*cos(f*x + e) + (B*a^3*cos(f*x + e)^3 - 4*B*a^3*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*
(-c*sin(f*x + e) + c)^n/f

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 898 vs. \(2 (31) = 62\).

Time = 65.21 (sec) , antiderivative size = 898, normalized size of antiderivative = 26.41 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))**3*(c-c*sin(f*x+e))**n*(B*(3-n)-B*(4+n)*sin(f*x+e)),x)

[Out]

Piecewise((-B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)**8/(f*tan(e/2 + f*
x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) - 6*B*a**3*(c - 2*c
*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)**7/(f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x
/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) - 14*B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2
+ f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)**6/(f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x
/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) - 14*B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(
e/2 + f*x/2)**5/(f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x
/2)**2 + f) + 14*B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)**3/(f*tan(e/2
+ f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) + 14*B*a**3*(c
- 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)**2/(f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2
+ f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) + 6*B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(ta
n(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n*tan(e/2 + f*x/2)/(f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f
*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f) + B*a**3*(c - 2*c*tan(e/2 + f*x/2)/(tan(e/2 + f*x/2)**2 + 1))**n/(f*ta
n(e/2 + f*x/2)**8 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 6*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 4*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + f), Ne(f, 0)
), (x*(B*(3 - n) - B*(n + 4)*sin(e))*(a*sin(e) + a)**3*(-c*sin(e) + c)**n, True))

Maxima [F]

\[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\int { -{\left (B {\left (n + 4\right )} \sin \left (f x + e\right ) + B {\left (n - 3\right )}\right )} {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{3} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{n} \,d x } \]

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^3*(c-c*sin(f*x+e))^n*(B*(3-n)-B*(4+n)*sin(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

-integrate((B*(n + 4)*sin(f*x + e) + B*(n - 3))*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(-c*sin(f*x + e) + c)^n, x)

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 9586 vs. \(2 (34) = 68\).

Time = 48.34 (sec) , antiderivative size = 9586, normalized size of antiderivative = 281.94 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^3*(c-c*sin(f*x+e))^n*(B*(3-n)-B*(4+n)*sin(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

(B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e
)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) -
8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan
(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)
^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3
+ 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*
x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(
1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*
f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) -
1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 +
4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^8 + 6*B*a^3*(sqrt(2*tan
(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*
tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 -
8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^
2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x +
1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*
pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4
- 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f
*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/
4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*
x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x +
1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^7 + 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1
/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(
f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2
*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n
*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*s
gn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*
f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*
x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4
*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2
*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2
) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*
n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^6 - B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 -
4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f
*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x +
e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e
) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c
)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^8 + 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan
(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x +
1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2
+ tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2
+ 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(
f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1
/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(
2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(
tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/
2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^5 - 6*B*a^3*(sq
rt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x
+ e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/
2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1
/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^7 - 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*
tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)
^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
- 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/
(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^
6 - 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f
*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/
2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 +
tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 +
2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*
x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(
1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*
c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*
e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 14*B*a^3*(sqr
t(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2
*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x
+ e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^5 - 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*t
an(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^
4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) -
4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(
tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*
tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/
2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn
(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(
1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*t
an(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2
*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 6*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(
1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan
(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)
^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1
/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan
(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*
e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1
/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2
*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) -
2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*
x + 1/2*e) + 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3
+ 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2
*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/
2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x
+ e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2
+ tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1
/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(
f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2
*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n
*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*s
gn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*
f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*
x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4
*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2
*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2
) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*
n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2 + 14*B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan
(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*ta
n(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e
)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 6*B*a^3*(sqrt(
2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f
*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x +
e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/
2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*
f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + B*a^3*(sqrt(2*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*tan(f*x
+ e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 3*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^4 - 4*tan(f*x + e)^4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 2*tan(f*x + e)^4 + 6*t
an(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 8*tan(f*x + e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 4*tan(
1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 3*tan(f*x + e)^2 + 2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 4*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)*abs(c)/(tan(f*x
+ e)^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + tan(f*x + e)^2 + tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1))^n)/(f*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan
(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2
*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) -
1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(
1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1
/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)
))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^8 + 4*f*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 +
4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3
- 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*
x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/
4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*
c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^6 + f*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^8 + 6*f*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
- 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn
(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*t
an(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*
c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*
e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e))
+ 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + 4*f*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^6 + 4*f*tan(-1/4*pi*
n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/
2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^
2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3
+ 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*
x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*
sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2
*f*x + 1/2*e)))^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 6*f*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + f*tan(-1/4*pi*n*sgn(2*c*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*t
an(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x +
1/2*e)) + pi*n*floor(1/4*sgn(2*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*
e) - 2*c)*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 1)*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1
/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) - 1/4*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/2) - 1/4*pi*n*sgn(4*c*tan(1/2*f*x + 1/
2*e)^3 - 8*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 4*c*tan(1/2*f*x + 1/2*e)) + 1/4*pi*n*sgn(tan(1/2*f*x + 1/2*e)))^2 + 4*f*
tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + f)

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 14.18 (sec) , antiderivative size = 64, normalized size of antiderivative = 1.88 \[ \int (a+a \sin (e+f x))^3 (c-c \sin (e+f x))^n (B (3-n)-B (4+n) \sin (e+f x)) \, dx=\frac {B\,a^3\,{\left (-c\,\left (\sin \left (e+f\,x\right )-1\right )\right )}^n\,\left (14\,\cos \left (e+f\,x\right )-6\,\cos \left (3\,e+3\,f\,x\right )+14\,\sin \left (2\,e+2\,f\,x\right )-\sin \left (4\,e+4\,f\,x\right )\right )}{8\,f} \]

[In]

int(-(B*(n - 3) + B*sin(e + f*x)*(n + 4))*(a + a*sin(e + f*x))^3*(c - c*sin(e + f*x))^n,x)

[Out]

(B*a^3*(-c*(sin(e + f*x) - 1))^n*(14*cos(e + f*x) - 6*cos(3*e + 3*f*x) + 14*sin(2*e + 2*f*x) - sin(4*e + 4*f*x
)))/(8*f)